유클리드 기하학
물리/과학 2009/08/09 05:46 유클리드의 기하학은 가장 처음 5개의 공리로 부터 시작된다.
공리라는것은 더이상 부정할수 없는 세상에 존재하는 진리를 일컫는 말이 된다.
그럼, 그 5가지의 공리들을 살펴보자.
1. 임의의 점과 다른 한 점을 연결하는 직선은 단 하나뿐이다. (그럼 두개냐? ㅋ)
2. 임의의 선분은 양끝으로 얼마든지 연장할 수 있다. (연장하는건 엿장수 마음이지~-_-)
3. 임의의 점을 중심으로 하고 임의의 길이를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다. (그러니까, 못그린다는게 가능한 거냐니깐? -_-;)
4. 직각은 모두 서로 같다. (다른 직각이란게 있기는 한거냐?)
5. 두직선이 한 직선과 만날 때, 같은 쪽에 있는 내각의 합이 180도보다 작으면 이 두 직선을
연장할때 180도보다 작은 내각을 이루는 쪽에서 반드시 만난다.
(평행선은 만나지 않지! 노래도 있다~ 평행선 어쩌구 만날수 없다느니 어쩌구~)
-----위키백과에서 찾아서 조금 코멘트를 바꾸었음을 알린다----------
보다시피, 도저히 맨정신으로는 이것들이 사실이 아니라고 부정하기 어려운 것들이다.
점이 두개 있고 그것을 이어주는 선을 그을수있다니.. -_-; 이걸 어떻게 부정하냔 말이다!
뭐? 모든 직각은 서로 합동이야? 그럼, 다른 직각이란게 있기나 한가? 이걸 어떻게 부정하냔 말이다!
당연한것! 그렇다! 너무나 당연한 것들을 모으고 모은
그것이 바로 공리이다. 너무나 당연해서 진리라고 말하는 것이다.
이렇게 너무나 당연한 공리들을 세워두고, 그 이외의 모든 기하학의 정리들을 공리에 입각하며
수학적인 증명을 해낸것이 바로 유클리드의 기하학이 되겠다.
기하학의 수많은 아름다운 정리들은 모두 5가지 공리들의 논리적인 작용의 결과물이라는 것이다.
아름답지 아니한가? 세상의 모든 것들은 진리로부터 모두 증명되고 유도될수 있는 사실이라는
것을 시사하고 있다. 도저히 깨어질수 없는 이성의 아름다운 시스템, 바로 유클리드의 기하학인것이다.
하지만, 위의 문단에서 찬양되어진 것은, 그저 고전적인 시각에서 바라보았을때 뿐이다.
근대 수학의 입장으로 바라본다면, 위와같은 기하학의 견고함이나 아름다움에 대한 찬사는 그저
빛바랜 추억의 회고, 이상도 이하도 아닐것이다.
이글에서는, 그렇다면, 유클리드의 기하학이 왜 이렇게 평가되고 있는지
어쩌면 드라마틱할 수도 있는 이야기를 해 보기로 하자.
노파심에서 자세한 이야기를 하기전에 미리 말하여 둔다.
이 이야기는 매우 개인적인 소견이며, 인용되어지는 역사적이거나 학문적인 사실들이 사실인건 분명하지만,
나의 기억의 쇠퇴로 인하여 그다지 정확하지 않을수 있음을 밝혀둔다. 예를 들자면, 역사적인 사실의 순서가
뒤바뀌었거나 그럴수 있다. 내가 이걸 전공하는것도 아니고, 다분히 아마츄어이기때문에, 이러한 세부사항을
가지고 따질거면 따지지 말아주길 당부한다. ㅋ
아무튼, 이제 시작해서, 바로 문제는 위에 적어놓은 공리들중에서 5번째 공리에서 출발한다.
다른 공리와는 다르게 5번째는 그러니까 좀 복잡하다. 그렇지 않은가? 그래서, 사람들은 이 공리를
아름다운 기하학의 옥의티로 여겼다. 그래서, 이 공리를 제외한 4개의 공리들을 이용해서
5번째 공리를 증명해 내려고 대략 2000년을 소비했다.. 하지만, 언제나 번번히 실패로 이어졌다.
그러던 끝에 한 수학자가 참으로 엉뚱한 생각을 하게 되었다. 그것은 다음아니라 5번째 공리를 거꾸로
가정한것이다!! 그러니까, 5번째 공리는 평행한 두 직선은 결코 만나지 않는다는 것인데, 그것을
평한한 두 직선이 만난다고 그냥 얼핏보기에도 사실이 아닌것을 공리라고 가정을 한것이다.
이것이 말이 될까? 아무튼, 이 수학자는 이렇게도 괘씸한 고전에 대한 전반적인 반격을 꽤한것이다.
이 반대되는 5번째 공리를 가지고 논리를 전개하여, 이 수학자는 나름대로의 논리의 시스템을 구축했고
그것의 이름을 비유클리드 기하학이라 이름붙였다. 당시의 사람들은 이 수학자를 그저 미친 사람마냥
여기거나, 잘 봐줘야 그저 논리의 유희를 즐기는 시간 많은 사람 정도로 여겼다.
여기에 또다시 무시무시한 발견이 뒤따른다. 그것은 아인슈타인의 일반상대성이론이다.
이 이론은 괘씸하게도 비유클리드 기하학을 이용한다!
이 엄청난 사실을 다시 한번 생각해 보자.
일반상대성이론은 물리학이고 자연을 설명하는 이론이다. 그리고, 그 이론에 비유클리드 기하학이 사용된다.
비유클리드 기하학은 '진리'가 아닌, 존재하던 공리를 부정한 '거짓'으로 부터 시작하지 않았던가?
거짓으로 부터 시작된 비유클리드 기하학이 진리일리 없지 않은가?
그런데, 그것이 자연을 설명한다면, 자연은 거짓을 바탕으로 구성되었다는 이야기 인가?
그것은 불가능하다. 자연이 거짓으로 구성되어 있을리가 없으니 말이다.
어떻게 보면 자연의 모습이라는 것이 진리의 정의가 될수도 있지 않겠는가!
진리의 최소한의 기준이 있다면 그것은 우리가 경험할수 있는 자연에서 비롯되어야 한다고 생각한다.
바꾸어 말하면 자연을 설명 할 수 있는것이라면, 그것은 진리라고 말 할 수 있는다는 이야기다.
많이 돌려서 이야기 했는데, 바로 말하면, 비유클리드 기하학은 틀린 이론이 아니였다. 자연을
설명하는 훌륭한 수학인 것이다.
자! 하지만, 이제 더 큰 문제가 생겼다! 그렇다면, 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학중에 어떤것이 옳은것인가?
고전적인 진리, 공리를 사용한 유클리드 기하학이 옳은가? 아니면, 정 반대의 비유클리드 기하학이 옳은가?
어떤것이 옳은지에 대해서 말하기 전에 한가지 예를 들고 지나가자.
현대물리학의 걸출한 깨달음중 하나인 입자의 이중성에 대해서 말이다.
아레스토텔레스 이후에 자연과학에 있어 하나의 큰 논쟁이 있었다면 그것은 빛이 입자이냐 파동이냐의
논쟁이다. 빛이 파동이라는 증거가 많이 있는 반면, 입자라는 증거또한 적지 않았다.
이건 분명히 둘중에 하나로서 귀결되어야 하는 성질의 문제라고 인식되어져 왔다.
왜냐하면, 하나의 대상이 파동이라면 파동이고 입자라면 입자여야 한다. 하나의 대상이 파동이면서
입자이기도 하다니, 이렇게 모순된 일이 또 있을수 있겠는가?
어떤 개인이 남자이면서 여자일수 없듯이 말이다. 생명의 삶과 죽음처럼 말이다. 죽었으면서 살아있는건 모순이 아닌가?
하지만, 결론은 빛은 그리고 물질을 구성하고있는 기본입자들은 입자와 파동의 성질을 동시에 가진 그 무었이라는 것이다.
문제는 바로, 입자와 파동이란것이 구분되는 두개의 다른 개념이라는 인간의 인식자체가 잘못되었었던 것이다.
빛은 원래부터 (태초부터) 입자와 파동의 성질을 다 가지고 있었다. 그저 인간이 자신 나름대로 마음대로 착각을 하고
있었을 뿐이다. 원래부터 구분이 없던 개념을 그냥 인간 마음대로 구분이 가능하다고 믿고 있었던 것이다.
다시 말하자면, 모순이 있는것 같이 보였던것은, 순전히 인간의 관념에 의한것이였을뿐 사실과는 무관했다는것이다.
(사실 어떤 개인도 충분히 남자이면서 여자일수 있다!! 오에 겐자부로의 소설에도 나온다! ㅋ
물론, 죽음과 삶도 마찬가지이다. 극단적으로 보았을때의 사실을 말해보면, 살아있음과 죽어있음은 정의 조차 내릴수 없는 현상중 하나이다. 음.. 이건 나중에 따로 포스트를 올리겠다. )
다시 돌아와서, 유클리드 기하학이 옳은가 비유클리드 기하학이 옳은가?
대답은 물론, 둘 다 옳다 이다. 여기에서도 인간의 관념이 문제로 작용하고 있었다. 우선 가장 큰 문제점이 공리를 진리로
받아들였다는것이다. 아무리 거부하기 힘든 진리처럼 보이는것이라고 해도 그것을 진리라고 부를수는 없는것이다.
제5공리를 봐라! 반대로 놓아도 상관없지 않은가? 근대수학자들의 깨닭음은 다름아닌 공리가 진리가 아니라
하나의 단순한 룰이라는걸 발견한것이다. 다시 말하면, 아무리 단순하고 진리같아 보일지라도 그것은 부정될수 있고
다시 해석할수 있는 상대적인것이라는 것이다.
거기에 한가지를 더해서, 공리의 재해석에서 깨달은 아주 중요한 사실이 있다.
그것은 공리에서 사용되고 거론되는 대상은 정의가 불가능하다는 사실이다! 즉, 점이나 선 같은 개체들을 정의하게 되면
그 정의에서 사용된 논리와 제약이 다른 공리를 필요로 하게 된다는 사실을 증명하였다. 점과 선 같은 공리에 사용되는
기본적인 개체들은 근대 수학에서 비정의 개념으로서 받아들이게 된다. 근대수학의 아버지인 힐버트의 말을 빌려보면, "점과 선을 맥주병과
의자로 바꾸어 놓는다고 해도, 기하학은 그 어떤 변함이 없다" 라고 언급하였다. 즉, 만일에 맥주병과 의자에 공리에서
말하여지는 성질을 발견할 수 있다면, 이하의 정리들은 모두 적용이 되어야 한다는것이다.
이 사실또한 기하학, 아니 수학의 상대성을 말해준다. 기하학에서 말하는 내용이 고전적으로 받아 들여지던 "기하학"적인
대상에 대한 "진리"가 아니라, 일반적인 논리체계의 "결과"일뿐이라는 것이다.
여기에 수학의 그리고 논리의 고전적 불완전성에 쐬기를 박는 일이 발생하니, 그것은 바로 그 유명한 괴델의
불완전성의 원리이다. 괴델의 불완전성의 원리는 무었인고 하니, 유한한 숫자의 공리로 어떤 수학적, 논리적 체계를
만들었을때, 그 체계에는 주어진 공리를 이용해 참이나 거짓을 증명할수 없는 하나 이상의 명제가 존재한다는 것이다!
즉, 논리적으로 닫혀진 시스템을 만들어 내는것이 근본적으로 불가능 하다라는 증명인 셈이다.
이걸 처음 듣고 놀랍지 않다면, 괴델보다 뛰어난 수학자거나 위의 내용을 제대로 이해하지 못했기 때문이리라.
이것의 발견의 충격으로 결국 괴델은 자살의 길로 접어들었으니 말이다. 참 딱하지만, 어찌하겠는가.
한때 이것이 근대수학의 그리고 모든 학문의 종말이다 라고 믿어졌었던 때도 있었던것 같다.
하지만, 인간의 유한함을 제대로 이해한다면, 이러한 문제는 그다지 문제가 안될수도 있는 문제라고 생각한다.
애초에 완벽을 그리고 영원을 믿었던 인간의 어리석음이 문제였을뿐, 현실을 직시하고 한계를 깨달은 시점에서
이러한 무한과 연관된 문제는 그 심각성을 심각하게 잃고 만다.
예를 들어 신을 믿었던 시절로 돌아가 보자, 신이 죽었단 이야기는 정말 말도 안되는 믿을수 없는 이야기였을것이다.
하지만, 지금은 (적어도 제대로된 독서를 하는 인간에게는) 신은 죽을 수 없는 존재라고 받아들여지고 있을것이다.
왜냐하면, 애초부터 없었던 것인데 죽고 살고 아무 의미도 없는것이니까 말이다.
그저 하나의 사실일뿐 달라지는것은 없다.
다른 예를 들어 본다. 예전엔 지구가 우주의 중심이라고 생각했었다. 그리고, 그것이 아니라는것이 증명되었다.
그게 얼마나 받아들이기 힘들었을지 눈감고 딱 2분만 심각히 생각해 보자.
중요한것은 사실을 직시하고 받아들이는 것이다. 지구가 우주의 중심이라 왜 애초에 믿고 있었나?
인간의 오만함과 자기중심적인 사고의 파생물 아니겠는가? 자신이 잘났다, 자신이 특별하다, 라고 생각했을뿐,
그리고, 그것이 거짓이란걸 깨달은데 불과한 문제이다.
인류는 근대에 이르러서야, 자신이 특별하지 않은 생명체임을 깨달았다.
유아기에서 사춘기로 접어든 한 인간처럼 말이다.
유클리드 기하학은, 수학은, 논리학은, 결코 절대적이지 않다.
그렇다고 평가절하하지는 말자. 그것들이 절대적이지 않았던 것은 그들이 태어날때 부터 였을것이다.
그저 똑똑하지 못하고 자만스러운 성숙되지 못했던 인간의 제멋대로의 믿음에서 근본되어진 불안함이
만들어낸 허상일 뿐이다. 그렇다고 해서, 기하학의 의미가 희미해 지는것은 결코 아니다!
인간이 가지고 있었던 허상이 깨어짐에 의한 허탈함이란 인간의 감정으로 기하학을 바라봐서는
기하학을 두번 죽이는 일 일 것이다.
기하학은 원래부터 유한하고 상대적이였던것으로, 그 자체로 의미를 가지고 있는것임을 명심해야
할 것이다.
유한한 기하학을 이용하여 지금껏 인류가 이루어 낸 것들을 바라보자! 너무나 눈부신것들이 잔득 있지 않은가 말이다.
사실 유클리드가 실존한 인물인지 아닌지도 잘 모르고, 그 유클리드 기하학의 기원이 대체 어디서 시작되었는지도
모른다고 하더라. 대략 기원전부터 내려오는거라는데 말이다. (맞나?ㅋ) 그걸 비추어 생각해 보면
유클리드 기하학이란건 정말로 앞서나갔던 문명인것 같다. 혹시 맨처음에 외계인이 가르쳐 주고 간것이 아닐까? ㅋ
공리라는것은 더이상 부정할수 없는 세상에 존재하는 진리를 일컫는 말이 된다.
그럼, 그 5가지의 공리들을 살펴보자.
1. 임의의 점과 다른 한 점을 연결하는 직선은 단 하나뿐이다. (그럼 두개냐? ㅋ)
2. 임의의 선분은 양끝으로 얼마든지 연장할 수 있다. (연장하는건 엿장수 마음이지~-_-)
3. 임의의 점을 중심으로 하고 임의의 길이를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다. (그러니까, 못그린다는게 가능한 거냐니깐? -_-;)
4. 직각은 모두 서로 같다. (다른 직각이란게 있기는 한거냐?)
5. 두직선이 한 직선과 만날 때, 같은 쪽에 있는 내각의 합이 180도보다 작으면 이 두 직선을
연장할때 180도보다 작은 내각을 이루는 쪽에서 반드시 만난다.
(평행선은 만나지 않지! 노래도 있다~ 평행선 어쩌구 만날수 없다느니 어쩌구~)
-----위키백과에서 찾아서 조금 코멘트를 바꾸었음을 알린다----------
보다시피, 도저히 맨정신으로는 이것들이 사실이 아니라고 부정하기 어려운 것들이다.
점이 두개 있고 그것을 이어주는 선을 그을수있다니.. -_-; 이걸 어떻게 부정하냔 말이다!
뭐? 모든 직각은 서로 합동이야? 그럼, 다른 직각이란게 있기나 한가? 이걸 어떻게 부정하냔 말이다!
당연한것! 그렇다! 너무나 당연한 것들을 모으고 모은
그것이 바로 공리이다. 너무나 당연해서 진리라고 말하는 것이다.
이렇게 너무나 당연한 공리들을 세워두고, 그 이외의 모든 기하학의 정리들을 공리에 입각하며
수학적인 증명을 해낸것이 바로 유클리드의 기하학이 되겠다.
기하학의 수많은 아름다운 정리들은 모두 5가지 공리들의 논리적인 작용의 결과물이라는 것이다.
아름답지 아니한가? 세상의 모든 것들은 진리로부터 모두 증명되고 유도될수 있는 사실이라는
것을 시사하고 있다. 도저히 깨어질수 없는 이성의 아름다운 시스템, 바로 유클리드의 기하학인것이다.
하지만, 위의 문단에서 찬양되어진 것은, 그저 고전적인 시각에서 바라보았을때 뿐이다.
근대 수학의 입장으로 바라본다면, 위와같은 기하학의 견고함이나 아름다움에 대한 찬사는 그저
빛바랜 추억의 회고, 이상도 이하도 아닐것이다.
이글에서는, 그렇다면, 유클리드의 기하학이 왜 이렇게 평가되고 있는지
어쩌면 드라마틱할 수도 있는 이야기를 해 보기로 하자.
노파심에서 자세한 이야기를 하기전에 미리 말하여 둔다.
이 이야기는 매우 개인적인 소견이며, 인용되어지는 역사적이거나 학문적인 사실들이 사실인건 분명하지만,
나의 기억의 쇠퇴로 인하여 그다지 정확하지 않을수 있음을 밝혀둔다. 예를 들자면, 역사적인 사실의 순서가
뒤바뀌었거나 그럴수 있다. 내가 이걸 전공하는것도 아니고, 다분히 아마츄어이기때문에, 이러한 세부사항을
가지고 따질거면 따지지 말아주길 당부한다. ㅋ
아무튼, 이제 시작해서, 바로 문제는 위에 적어놓은 공리들중에서 5번째 공리에서 출발한다.
다른 공리와는 다르게 5번째는 그러니까 좀 복잡하다. 그렇지 않은가? 그래서, 사람들은 이 공리를
아름다운 기하학의 옥의티로 여겼다. 그래서, 이 공리를 제외한 4개의 공리들을 이용해서
5번째 공리를 증명해 내려고 대략 2000년을 소비했다.. 하지만, 언제나 번번히 실패로 이어졌다.
그러던 끝에 한 수학자가 참으로 엉뚱한 생각을 하게 되었다. 그것은 다음아니라 5번째 공리를 거꾸로
가정한것이다!! 그러니까, 5번째 공리는 평행한 두 직선은 결코 만나지 않는다는 것인데, 그것을
평한한 두 직선이 만난다고 그냥 얼핏보기에도 사실이 아닌것을 공리라고 가정을 한것이다.
이것이 말이 될까? 아무튼, 이 수학자는 이렇게도 괘씸한 고전에 대한 전반적인 반격을 꽤한것이다.
이 반대되는 5번째 공리를 가지고 논리를 전개하여, 이 수학자는 나름대로의 논리의 시스템을 구축했고
그것의 이름을 비유클리드 기하학이라 이름붙였다. 당시의 사람들은 이 수학자를 그저 미친 사람마냥
여기거나, 잘 봐줘야 그저 논리의 유희를 즐기는 시간 많은 사람 정도로 여겼다.
여기에 또다시 무시무시한 발견이 뒤따른다. 그것은 아인슈타인의 일반상대성이론이다.
이 이론은 괘씸하게도 비유클리드 기하학을 이용한다!
이 엄청난 사실을 다시 한번 생각해 보자.
일반상대성이론은 물리학이고 자연을 설명하는 이론이다. 그리고, 그 이론에 비유클리드 기하학이 사용된다.
비유클리드 기하학은 '진리'가 아닌, 존재하던 공리를 부정한 '거짓'으로 부터 시작하지 않았던가?
거짓으로 부터 시작된 비유클리드 기하학이 진리일리 없지 않은가?
그런데, 그것이 자연을 설명한다면, 자연은 거짓을 바탕으로 구성되었다는 이야기 인가?
그것은 불가능하다. 자연이 거짓으로 구성되어 있을리가 없으니 말이다.
어떻게 보면 자연의 모습이라는 것이 진리의 정의가 될수도 있지 않겠는가!
진리의 최소한의 기준이 있다면 그것은 우리가 경험할수 있는 자연에서 비롯되어야 한다고 생각한다.
바꾸어 말하면 자연을 설명 할 수 있는것이라면, 그것은 진리라고 말 할 수 있는다는 이야기다.
많이 돌려서 이야기 했는데, 바로 말하면, 비유클리드 기하학은 틀린 이론이 아니였다. 자연을
설명하는 훌륭한 수학인 것이다.
자! 하지만, 이제 더 큰 문제가 생겼다! 그렇다면, 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학중에 어떤것이 옳은것인가?
고전적인 진리, 공리를 사용한 유클리드 기하학이 옳은가? 아니면, 정 반대의 비유클리드 기하학이 옳은가?
어떤것이 옳은지에 대해서 말하기 전에 한가지 예를 들고 지나가자.
현대물리학의 걸출한 깨달음중 하나인 입자의 이중성에 대해서 말이다.
아레스토텔레스 이후에 자연과학에 있어 하나의 큰 논쟁이 있었다면 그것은 빛이 입자이냐 파동이냐의
논쟁이다. 빛이 파동이라는 증거가 많이 있는 반면, 입자라는 증거또한 적지 않았다.
이건 분명히 둘중에 하나로서 귀결되어야 하는 성질의 문제라고 인식되어져 왔다.
왜냐하면, 하나의 대상이 파동이라면 파동이고 입자라면 입자여야 한다. 하나의 대상이 파동이면서
입자이기도 하다니, 이렇게 모순된 일이 또 있을수 있겠는가?
어떤 개인이 남자이면서 여자일수 없듯이 말이다. 생명의 삶과 죽음처럼 말이다. 죽었으면서 살아있는건 모순이 아닌가?
하지만, 결론은 빛은 그리고 물질을 구성하고있는 기본입자들은 입자와 파동의 성질을 동시에 가진 그 무었이라는 것이다.
문제는 바로, 입자와 파동이란것이 구분되는 두개의 다른 개념이라는 인간의 인식자체가 잘못되었었던 것이다.
빛은 원래부터 (태초부터) 입자와 파동의 성질을 다 가지고 있었다. 그저 인간이 자신 나름대로 마음대로 착각을 하고
있었을 뿐이다. 원래부터 구분이 없던 개념을 그냥 인간 마음대로 구분이 가능하다고 믿고 있었던 것이다.
다시 말하자면, 모순이 있는것 같이 보였던것은, 순전히 인간의 관념에 의한것이였을뿐 사실과는 무관했다는것이다.
(사실 어떤 개인도 충분히 남자이면서 여자일수 있다!! 오에 겐자부로의 소설에도 나온다! ㅋ
물론, 죽음과 삶도 마찬가지이다. 극단적으로 보았을때의 사실을 말해보면, 살아있음과 죽어있음은 정의 조차 내릴수 없는 현상중 하나이다. 음.. 이건 나중에 따로 포스트를 올리겠다. )
다시 돌아와서, 유클리드 기하학이 옳은가 비유클리드 기하학이 옳은가?
대답은 물론, 둘 다 옳다 이다. 여기에서도 인간의 관념이 문제로 작용하고 있었다. 우선 가장 큰 문제점이 공리를 진리로
받아들였다는것이다. 아무리 거부하기 힘든 진리처럼 보이는것이라고 해도 그것을 진리라고 부를수는 없는것이다.
제5공리를 봐라! 반대로 놓아도 상관없지 않은가? 근대수학자들의 깨닭음은 다름아닌 공리가 진리가 아니라
하나의 단순한 룰이라는걸 발견한것이다. 다시 말하면, 아무리 단순하고 진리같아 보일지라도 그것은 부정될수 있고
다시 해석할수 있는 상대적인것이라는 것이다.
거기에 한가지를 더해서, 공리의 재해석에서 깨달은 아주 중요한 사실이 있다.
그것은 공리에서 사용되고 거론되는 대상은 정의가 불가능하다는 사실이다! 즉, 점이나 선 같은 개체들을 정의하게 되면
그 정의에서 사용된 논리와 제약이 다른 공리를 필요로 하게 된다는 사실을 증명하였다. 점과 선 같은 공리에 사용되는
기본적인 개체들은 근대 수학에서 비정의 개념으로서 받아들이게 된다. 근대수학의 아버지인 힐버트의 말을 빌려보면, "점과 선을 맥주병과
의자로 바꾸어 놓는다고 해도, 기하학은 그 어떤 변함이 없다" 라고 언급하였다. 즉, 만일에 맥주병과 의자에 공리에서
말하여지는 성질을 발견할 수 있다면, 이하의 정리들은 모두 적용이 되어야 한다는것이다.
이 사실또한 기하학, 아니 수학의 상대성을 말해준다. 기하학에서 말하는 내용이 고전적으로 받아 들여지던 "기하학"적인
대상에 대한 "진리"가 아니라, 일반적인 논리체계의 "결과"일뿐이라는 것이다.
여기에 수학의 그리고 논리의 고전적 불완전성에 쐬기를 박는 일이 발생하니, 그것은 바로 그 유명한 괴델의
불완전성의 원리이다. 괴델의 불완전성의 원리는 무었인고 하니, 유한한 숫자의 공리로 어떤 수학적, 논리적 체계를
만들었을때, 그 체계에는 주어진 공리를 이용해 참이나 거짓을 증명할수 없는 하나 이상의 명제가 존재한다는 것이다!
즉, 논리적으로 닫혀진 시스템을 만들어 내는것이 근본적으로 불가능 하다라는 증명인 셈이다.
이걸 처음 듣고 놀랍지 않다면, 괴델보다 뛰어난 수학자거나 위의 내용을 제대로 이해하지 못했기 때문이리라.
이것의 발견의 충격으로 결국 괴델은 자살의 길로 접어들었으니 말이다. 참 딱하지만, 어찌하겠는가.
한때 이것이 근대수학의 그리고 모든 학문의 종말이다 라고 믿어졌었던 때도 있었던것 같다.
하지만, 인간의 유한함을 제대로 이해한다면, 이러한 문제는 그다지 문제가 안될수도 있는 문제라고 생각한다.
애초에 완벽을 그리고 영원을 믿었던 인간의 어리석음이 문제였을뿐, 현실을 직시하고 한계를 깨달은 시점에서
이러한 무한과 연관된 문제는 그 심각성을 심각하게 잃고 만다.
예를 들어 신을 믿었던 시절로 돌아가 보자, 신이 죽었단 이야기는 정말 말도 안되는 믿을수 없는 이야기였을것이다.
하지만, 지금은 (적어도 제대로된 독서를 하는 인간에게는) 신은 죽을 수 없는 존재라고 받아들여지고 있을것이다.
왜냐하면, 애초부터 없었던 것인데 죽고 살고 아무 의미도 없는것이니까 말이다.
그저 하나의 사실일뿐 달라지는것은 없다.
다른 예를 들어 본다. 예전엔 지구가 우주의 중심이라고 생각했었다. 그리고, 그것이 아니라는것이 증명되었다.
그게 얼마나 받아들이기 힘들었을지 눈감고 딱 2분만 심각히 생각해 보자.
중요한것은 사실을 직시하고 받아들이는 것이다. 지구가 우주의 중심이라 왜 애초에 믿고 있었나?
인간의 오만함과 자기중심적인 사고의 파생물 아니겠는가? 자신이 잘났다, 자신이 특별하다, 라고 생각했을뿐,
그리고, 그것이 거짓이란걸 깨달은데 불과한 문제이다.
인류는 근대에 이르러서야, 자신이 특별하지 않은 생명체임을 깨달았다.
유아기에서 사춘기로 접어든 한 인간처럼 말이다.
유클리드 기하학은, 수학은, 논리학은, 결코 절대적이지 않다.
그렇다고 평가절하하지는 말자. 그것들이 절대적이지 않았던 것은 그들이 태어날때 부터 였을것이다.
그저 똑똑하지 못하고 자만스러운 성숙되지 못했던 인간의 제멋대로의 믿음에서 근본되어진 불안함이
만들어낸 허상일 뿐이다. 그렇다고 해서, 기하학의 의미가 희미해 지는것은 결코 아니다!
인간이 가지고 있었던 허상이 깨어짐에 의한 허탈함이란 인간의 감정으로 기하학을 바라봐서는
기하학을 두번 죽이는 일 일 것이다.
기하학은 원래부터 유한하고 상대적이였던것으로, 그 자체로 의미를 가지고 있는것임을 명심해야
할 것이다.
유한한 기하학을 이용하여 지금껏 인류가 이루어 낸 것들을 바라보자! 너무나 눈부신것들이 잔득 있지 않은가 말이다.
사실 유클리드가 실존한 인물인지 아닌지도 잘 모르고, 그 유클리드 기하학의 기원이 대체 어디서 시작되었는지도
모른다고 하더라. 대략 기원전부터 내려오는거라는데 말이다. (맞나?ㅋ) 그걸 비추어 생각해 보면
유클리드 기하학이란건 정말로 앞서나갔던 문명인것 같다. 혹시 맨처음에 외계인이 가르쳐 주고 간것이 아닐까? ㅋ
